重力場中のスカラー場 - jemmie-a-secret’s blog

一般相対論関連の記事を読んでいたときのこと。
ふと「スカラー場はどうなるんだろう？」と疑問に思った。
ググっても見つからなかったので、自分でやってみることにした。

ここでは以下の条件をおく。
1．計量・スカラー場ともに静的球対称
2．スカラー場は質量０の実スカラー場
3．計量は無限遠でミンコウスキー計量に漸近
4．スカラー場は無限遠で０に漸近

まず条件1から線素は
$\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = -e^{\nu} dw^{2} + e^{\lambda} dr^{2} + r^{2} d\Omega \end{aligned} \end{equation}$
とおける。
ここで
$\nu = \nu \left( r \right), \lambda = \lambda \left( r \right)$ は動径 $r$ の関数
$d\Omega = d\theta^{2} + \sin^{2} \theta d\varphi^{2}$
$w = ct$ で $c$ は真空中の光速度、 $t$ は時間である
ただし条件3から、 $r \to \inftyのとき e^{\nu} \to 1, e^{\lambda} \to 1$ である必要がある

変数 $x^{\mu}$ を $x^{0} = w, x^{1} = r, x^{2} = \theta, x^{3} = \varphi$ ととれば
計量 $g_{\mu \nu}$ は線素から
$g_{00} = -e^{\nu}, g_{11} = e^{\lambda}, g_{22} = r^{2}, g_{33} = r^{2} \sin^{2} \theta, g_{\sigma \tau}=0 \left( \sigma \neq \tau \right)$
となる。また上付きの方は
$g^{00} = -e^{-\nu}, g^{11} = e^{-\lambda}, g^{22} = \frac{1}{r^{2}}, g^{33} = \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}, g^{\sigma \tau}=0 \left( \sigma \neq \tau \right)$
である。また、あとで使うだろうから $\sqrt{-g}$ も計算しておく。
$\sqrt{-g} = e^{\frac{\nu + \lambda}{2}} r^{2} \sin \theta$

通常であれば、ここからクリストッフェルの記号を計算してとなるのだが長い。
過程は省略して、リッチテンソルの計算結果だけ書くと
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{00} = \left( \frac{\nu^{\prime \prime}}{2} + \frac{\nu^{\prime} \left( \nu^{\prime} - \lambda^{\prime} \right) }{4} + \frac{\nu^{\prime}}{r} \right) e^{\nu - \lambda} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{11} = - \frac{\nu^{\prime \prime}}{2} - \frac{\nu^{\prime} \left( \nu^{\prime} - \lambda^{\prime} \right) }{4} + \frac{\lambda^{\prime}}{r} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{22} = 1 - \left( 1 + \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime}}{2} r \right) e^{-\lambda} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{33} = \sin^{2} \theta R_{22} \end{aligned} \end{equation}$
ほかはすべて0になる。
ただし、 $\prime$ は $r$ の微分を表す。

続いてスカラー場を考える。質量0の実スカラー場のラグランジアン密度は
$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = - \frac{1}{2} \partial _{\mu} \varphi \partial ^{\mu} \varphi \end{aligned} \end{equation}$
で与えられる。ただし、積分して作用を求める際に $\sqrt{-g}$ が掛かるのでその変分は
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\delta \left( \sqrt{-g} \mathcal{L} \right) }{\delta \varphi} = - \partial_{\mu} \left( -\sqrt{-g} \partial^{\mu} \varphi \right) = 0 \end{aligned} \end{equation}$
これから
$\begin{equation} \begin{aligned} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \varphi + \frac{\partial_{\mu} \sqrt{-g}}{ \sqrt{-g}} \partial^{\mu} \varphi = 0 \end{aligned} \end{equation}$
ここで
${\Gamma^{\lambda}} _{\lambda \mu} = \frac{\partial_{\mu} \sqrt{-g}}{ \sqrt{-g}}$
$\nabla^{\mu} \varphi = \partial^{\mu} \varphi$
$\nabla_{\mu} \partial^{\mu} \varphi = \nabla_{\mu} \partial^{\mu} \varphi + {\Gamma^{\lambda}} _{ \lambda \mu} \partial^{\mu} \varphi$
を使うと、最小結合のクラインゴルドン方程式
$\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} \varphi = 0$
が得られる。いまは条件1から $\varphi$ が $r$ のみの関数なので
$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^{\prime \prime } + \left( \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime}}{2} + \frac{2}{r} \right) \varphi^{\prime} = 0 \qquad (1) \end{aligned} \end{equation}$
となる。

また、エネルギー運動量テンソルは
$\begin{equation} \begin{aligned} T_{\mu \nu} = -2 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g^{\mu \nu}} + g_{\mu \nu} \mathcal{L} \end{aligned} \end{equation}$
を使うと
$\begin{equation} \begin{aligned} T_{\mu \nu}= \partial_{\mu} \varphi \partial_{\nu} \varphi - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} \partial_{\sigma} \varphi \partial^{\sigma}\varphi \end{aligned} \end{equation}$
いま
$\begin{equation} \begin{aligned} S_{\mu \nu}= \partial_{\mu} \varphi \partial_{\nu} \varphi, S=g^{\mu \nu} S_{\mu \nu} = \partial_{\sigma} \varphi \partial^{\sigma}\varphi \end{aligned} \end{equation}$
を定義すれば
$\begin{equation} \begin{aligned} T_{\mu \nu} = S_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} S \end{aligned} \end{equation}$
である。 $\varphi$ が $r$ のみの関数であるから $S_{11} = \varphi^{\prime 2}$ 以外は0である。
これから、アインシュタイン方程式は
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu \nu} -\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \kappa \left( S_{\mu \nu} -\frac{1}{2} g_{\mu \nu} S \right) \qquad (2)\end{aligned} \end{equation}$
となる。
$(2)$ 式に $g^{\mu \nu}$ を掛けて縮約すると
$\begin{equation} \begin{aligned} -R = -\kappa S \end{aligned} \end{equation}$
これを $(2)$ 式に代入して、整理すれば
$\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu \nu} = \kappa S_{\mu \nu} \end{aligned} \end{equation}$
となる。
あとは、今までの結果を代入すれば解くべき式が得られる。
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{\nu^{\prime \prime}}{2} + \frac{\nu^{\prime} \left( \nu^{\prime} - \lambda^{\prime} \right) }{4} + \frac{\nu^{\prime}}{r} \right) e^{\nu - \lambda} = 0 \qquad (3)\end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} - \frac{\nu^{\prime \prime}}{2} - \frac{\nu^{\prime} \left( \nu^{\prime} - \lambda^{\prime} \right) }{4} + \frac{\lambda^{\prime}}{r} = \kappa \varphi^{\prime 2} \qquad (4) \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} 1 - \left( 1 + \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime}}{2} r \right) e^{-\lambda} = 0 \qquad (5) \end{aligned} \end{equation}$

あとは $(1)(3)(4)(5)$ 式を解けばいいのだが、その前にもう少し調べておく。
まず $(5)$ 式を変形していく。
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( 1 + \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime}}{2} r \right) e^{-\lambda} = 1 \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( 1 + \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime}}{2} r \right) e^{\frac{\nu - \lambda}{2}} = e^{\frac{\nu + \lambda}{2}} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( r e^{\frac{\nu - \lambda}{2}} \right)^{\prime} = e^{\frac{\nu + \lambda}{2}} \end{aligned} \end{equation}$
ここで、
$\begin{equation} \begin{aligned} e^{\frac{\nu - \lambda}{2}} = \frac{R}{r} \end{aligned} \end{equation}$
（ただし $R = R(r)$ は $r$ の関数）
とおくと
$\begin{equation} \begin{aligned} e^{\frac{\nu + \lambda}{2}} = R^{\prime} \end{aligned} \end{equation}$
となる。これから
$\begin{equation} \begin{aligned} e^{\nu} = \frac{R R^{\prime}}{r} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} e^{\lambda} = \frac{r R^{\prime}}{R} \end{aligned} \end{equation}$
を得る。この表式をつかうと線素は
$\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = -\frac{R R^{\prime}}{r} dw^{2} + \frac{r R^{\prime}}{R} dr^{2} + r^{2} d\Omega \end{aligned} \end{equation}$
となる。これを
$\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = -\frac{R R^{\prime}}{r} dw^{2} + \frac{r }{RR^{\prime}} R^{\prime 2} dr^{2} + r^{2} d\Omega \end{aligned} \end{equation}$
と変形して $R^{\prime} dr = dR$ を使うと
$\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = -\frac{R}{r \dot{r}} dw^{2} + \frac{r \dot{r}}{R} dR^{2} + r^{2} d\Omega \qquad (6) \end{aligned} \end{equation}$
となる。ただし $\dot{r} = \frac{dr}{dR} = \frac{1}{R^{\prime}}$ を定義した。
$(6)$ 式は後ほど必要となる。
また $R$ については、条件3のため $r \to \infty$ のとき $\frac{R}{r} \to 1$ 、つまり $R \sim r$ である必要がある。

次は $(1)$ 式を解くことにしよう。いま $e^{\frac{\nu - \lambda}{2}}=\frac{R}{r}$ から
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\nu^{\prime} - \lambda^{\prime} }{2} = \frac{R^{\prime}}{R} - \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
が成り立つから、 $(1)$ を以下のように変形できる。
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\varphi^{\prime \prime }}{\varphi^{\prime}} + \frac{R^{\prime}}{R} + \frac{1}{r} = 0 \end{aligned} \end{equation}$
これを積分すると
$\begin{equation} \begin{aligned} \log \left| {\varphi^{\prime}} \right| + \log \left| R \right| + \log \left| r \right| = const. \end{aligned} \end{equation}$
両辺の指数を取れば
$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^{\prime} Rr = \sqrt{\frac{2}{\kappa}} a \end{aligned} \end{equation}$
ここで $a$ は任意の定数である。これより
$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^{\prime} = \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{rR} \qquad (7) \end{aligned} \end{equation}$
が得られる。

あと使っていないのは $(3)(4)$ 式である。
$(3)式 \times e^{\lambda - \nu} + (4)式$ を計算すると
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{2}{r} \frac{\nu^{\prime} + \lambda^{\prime}}{2} = \kappa \varphi^{\prime 2} \qquad (8) \end{aligned} \end{equation}$
ここで $e^{\frac{\nu + \lambda}{2}}=R^{\prime}$ から次式が成り立つことに注意する。
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\nu^{\prime} + \lambda^{\prime} }{2} = \frac{R^{\prime \prime}}{R^{\prime}} \qquad (9) \end{aligned} \end{equation}$
$(8)$ 式に $(7)(9)$ 式を代入すると
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{2}{r} \frac{R^{\prime \prime}}{R^{\prime}} = \kappa \frac{2}{\kappa} \frac{a^{2}}{r^{2} R^{2}} \end{aligned} \end{equation}$
これを整理すると
$\begin{equation} \begin{aligned} r R^{\prime \prime} = \frac{a^{2}}{R^{2}} R^{\prime} \end{aligned} \end{equation}$
となって大分すっきりする。
$\begin{equation} \begin{aligned} r R^{\prime \prime} + R^{\prime} = \left(1+ \frac{a^{2}}{R^{2}} \right) R^{\prime} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( r R^{\prime} \right)^{\prime} = \left(1+ \frac{a^{2}}{R^{2}} \right) R^{\prime} \end{aligned} \end{equation}$
辺々積分すれば
$\begin{equation} \begin{aligned} r R^{\prime} = R - \frac{a^{2}}{R} + 2b \end{aligned} \end{equation}$
となる。ここに $b$ は任意定数である。これを変形すると
$\begin{equation} \begin{aligned} r R^{\prime} = \frac{R^2 +2bR - a^{2}}{R} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{R}{R^2 +2bR - a^{2}} R^{\prime} = \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
となって、変数分離形になる。あとは積分するだけである。
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{R + b}{\left( R + b \right)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right)} - \frac{b}{\left( R + b \right)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right)} \right) R^{\prime} = \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
ここで、 $u = R+b, c = \sqrt{ a^{2} + b^{2} }$ とおくと、 $u^{\prime} = R^{\prime}$ であるから
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{u}{u^{2} - c^{2} } - \frac{b}{u^{2} - c^{2}} \right) u^{\prime} = \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{u - c} + \frac{1}{u + c} \right) - \frac{b}{2c} \left( \frac{1}{u - c} - \frac{1}{u + c} \right) \right) u^{\prime} = \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{u - c} + \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{u + c} \right) u^{\prime} = \frac{1}{r} \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \log \left| u - c \right| + \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \log \left| u + c \right| = \log \left| r \right| + const. \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \log \left| R - \lambda_{-} \right| + \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \log \left| R + \lambda_{+} \right| = \log \left| r \right| + const. \end{aligned} \end{equation}$
ここで $\lambda_{\pm} = c \pm b = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \pm b$ とおいた。
$\begin{equation} \begin{aligned} \left( R - \lambda_{-} \right)^{ \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} } \left( R + \lambda_{+} \right)^{ \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} } = A r \end{aligned} \end{equation}$
ただし $A$ は任意定数である。
ここで $r \to \infty$ のとき $R \sim r$ であることを使うと $A = 1$ でなければならない。
結局 $R$ と $r$ の関係式は
$\begin{equation} \begin{aligned} r = \left( R - \lambda_{-} \right)^{ \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} } \left( R + \lambda_{+} \right)^{ \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} } \end{aligned} \end{equation}$
となる。
$R - \lambda_{-}$ が負のときは、べき乗が定義できない場合があるため $\lambda_{-} \leq R$ でなければならないだろう。

つづいて線素をもとめるのだが、 $R$ を $r$ の関数として解くのは難しい。そこで $R$ を変数とした場合の $(6)$ 式を使う。
途中の計算は省略するが
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{r \dot{r}}{R} = \left( \frac{R + \lambda_{+}}{R - \lambda_{-}} \right)^{\frac{b}{c} } \left( 1 - \frac{b}{R} \right) \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} r^{2} = \left( \frac{R + \lambda_{+}}{R - \lambda_{-}} \right)^{\frac{b}{c} } \left( R + \lambda_{+} \right) \left(R - \lambda_{-} \right) \end{aligned} \end{equation}$
となるから、線素は
$\begin{equation} \begin{array}{ll} ds^{2} =& -\frac{1}{\left( \frac{R + \lambda_{+}}{R - \lambda_{-}} \right)^{\frac{b}{c} } \left( 1 - \frac{b}{R} \right)} dw^{2} \\ &+ \left( \frac{R + \lambda_{+}}{R - \lambda_{-}} \right)^{\frac{b}{c} } \left( \left( 1 - \frac{b}{R} \right) dR^{2} + \left( R + \lambda_{+} \right) \left(R - \lambda_{-} \right) d \Omega \right) \end{array} \end{equation}$
である。ここで
$\begin{equation} \begin{aligned} \lambda_{\pm} = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \pm b \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{aligned} \end{equation}$
である。

残るはスカラー場だけである。 $(7)$ 式は
$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^{\prime} = \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{rR} \end{aligned} \end{equation}$
である。ここで
$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d\varphi}{dR} = \varphi^{\prime} \dot{r} \end{aligned} \end{equation}$
を使うと
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \frac{d\varphi}{dR} &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{R} \frac{\dot{r}}{r} \\ &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{R} \frac{d\log r}{dR} \\ &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{R} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{R - \lambda_{-}} + \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{R + \lambda_{+}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} a \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{\lambda_{-}} \left( \frac{1}{R - \lambda_{-}} - \frac{1}{R} \right) + \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \frac{1}{\lambda_{+}} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + \lambda_{+}} \right) \right) \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
だいぶ煩雑になってきたが、結論からいうと $\frac{1}{R}$ の係数は $0$ になるので
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \frac{d\varphi}{dR} &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{\lambda_{+} \lambda_{-}} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2c} \right) \frac{\lambda_{+}}{R - \lambda_{-}} - \left( \frac{1}{2} + \frac{b}{2c} \right) \frac{\lambda_{-}}{R + \lambda_{+}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{\left( c + b\right)\left( c - b\right)} \left( \frac{1}{2c}\left( c - b \right) \frac{c+b}{R - \lambda_{-}} - \frac{1}{2c} \left( c + b \right) \frac{c-b}{R + \lambda_{+}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\kappa}} \frac{a}{a^{2}} \left( \frac{1}{2c} \frac{a^{2}}{R - \lambda_{-}} - \frac{1}{2c} \frac{a^{2}}{R + \lambda_{+}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{1}{2 \kappa}} \frac{a}{c} \left( \frac{1}{R - \lambda_{-}} - \frac{1}{R + \lambda_{+}} \right) \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
よって
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \varphi &= \sqrt{\frac{1}{2 \kappa}} \frac{a}{c} \left( \log \left| R - \lambda_{-} \right| - \log \left| R + \lambda_{+} \right| \right) + const. \\ &= \sqrt{\frac{1}{2 \kappa}} \frac{a}{c} \log \frac{R-\lambda_{-} } {R + \lambda_{+} } + const. \\ \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
$\lambda_{-} \leq R$ であるから絶対値記号は外してある。
また積分定数は条件4から $0$ でなければならないだろうからスカラー場の式は
$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi = \sqrt{\frac{1}{2 \kappa}} \frac{a}{c} \log \frac{R-\lambda_{-} } {R + \lambda_{+} } \end{aligned} \end{equation}$
となる。