電磁場とスカラー場の相互作用

電磁場と相互作用する複素スカラー場の式を眺めていたとき、

ふと疑問に思った。

「この系の自由度っていくつなんだろう？」

気になったので調べてみることにした。

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = -\frac{1}{4 \mu _0}F _{\mu \nu}F ^{\mu \nu} -\left( D _\mu \varphi \right) ^* \left( D ^\mu \varphi \right) - \lambda ^2 \varphi ^* \varphi \end{aligned} \end{equation}$

ここで

$\begin{equation} \begin{aligned} F _{\mu \nu} = \partial _\mu A _\nu - \partial _\nu A _\mu \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} D _{\mu} \varphi = \partial _\mu \varphi + i \frac{q}{\hbar} A _\mu \varphi \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \lambda = \frac{mc}{\hbar} \end{aligned} \end{equation}$

$A^{\mu}$ は電磁ポテンシャル、 $m$ は複素スカラー場の質量、 $q$ は複素スカラー場の電荷、アスタリスクは複素共役を表す。ちなみに計量は $(\eta _{\mu \nu}) = diag\left( -1,1,1,1\right)$ である。

$A _\mu$ は４成分の実ベクトルだから自由度４、 $\varphi$ は複素変数なので実数換算で自由度２、合計して自由度６になっている。

まず、ゲージを固定してみる。

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi = \psi e ^{i \frac{q}{\hbar} \phi} \hspace{5mm} \left(\psi , \phi \in \mathbb{R} \right) \end{aligned} \end{equation}$

であるとして、Gauge変換

$\begin{equation} \begin{aligned} A _{\mu} \mapsto A _\mu + \partial _\mu \phi \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi \mapsto \varphi e ^{-i \frac{q}{\hbar} \phi} \end{aligned} \end{equation}$

を行うと

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = -\frac{1}{4 \mu _0}F _{\mu \nu}F ^{\mu \nu} - \partial _\mu \psi \partial ^\mu \psi - \frac{q ^2}{\hbar ^2} B _\mu B ^\mu \psi ^2- \lambda ^2 \psi ^2 \end{aligned} \end{equation}$

ここで、 $B _\mu = A _\mu + \partial _\mu \phi$ である。

あとは何ができるだろうと調べたら、Clebsh potentialというのが見つかった。

これは任意の３次元ベクトル $\bf{A}$ に対して、あるスカラー変数 $\alpha, \beta, \chi$ が存在して

$\begin{equation} \begin{aligned} \bf{A} = \alpha \nabla \beta + \nabla \chi \end{aligned} \end{equation}$

が成り立つというもの。

上の式の $\bf{A}$ をベクトルポテンシャルとみれば、3自由度のベクトルポテンシャルを3個のスカラー変数 $\alpha, \beta, \chi$ で表現できたことになる。

うれしいのは、スカラー変数 $\alpha, \beta, \chi$ を使って、

電磁ポテンシャルの0成分 $A^{0}$ を

$\begin{equation} \begin{aligned} A^{0} = \alpha \partial^{0} \beta + \partial^{0} \chi \end{aligned} \end{equation}$

とおいても、Maxwell方程式と矛盾しないことだ。

ここで

$\begin{equation} \begin{aligned} A^{\mu} = \alpha \partial^{\mu} \beta +\partial^{\mu} \chi \end{aligned} \end{equation}$

を使って、 $F _{\mu \nu}$ を計算してみると

$\begin{equation} \begin{aligned} F _{\mu \nu} = \partial _\mu \alpha \partial _\nu \beta - \partial _\nu \alpha \partial _\mu \beta \end{aligned} \end{equation}$

となる。このことから $F _{\mu \nu}F ^{\mu \nu}$ は

$F _{\mu \nu}F ^{\mu \nu} = 2\left( \partial _{\mu} \alpha \partial ^{\mu} \alpha \partial _{\nu} \beta \partial ^{\nu} \beta - \partial _{\mu} \alpha \partial ^{\mu} \beta \partial _{\nu} \beta \partial ^{\nu} \alpha \right)$

となる。あるいは

[tex: Q =

\begin{vmatrix}

\partial _{\mu} \alpha \partial ^{\mu} \alpha & \partial _{\mu} \alpha \partial ^{\mu} \beta \\

\partial _{\mu} \beta \partial ^{\mu} \alpha & \partial _{\mu} \beta \partial ^{\mu} \beta

\end{vmatrix} ]

を定義して $F _{\mu \nu}F ^{\mu \nu} = 2Q$ とも表せる。

$Q$ を使った場合のラグランジアン密度は

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = -\frac{Q}{2 \mu _0} - \partial _\mu \psi \partial ^\mu \psi - \frac{q ^2}{\hbar ^2} B _\mu B ^\mu \psi ^2- \lambda ^2 \psi ^2 \end{aligned} \end{equation}$