条件付命題論理のセマンティクス（２）

「条件付命題論理の健全性」の証明で使う定理といくつかおまけの定理を証明していこう。

「条件付き確率」と同様に
証明中のイコールの上の文字は変形に使用した公理ないし定理を表している。
なお $P1$ ～ $P6$ , $Th1$ ～ $Th12$ は「条件付き確率」にあるものと同じである。

基本的には真理値関数の定義に従って確認していくだけなのだが面倒なので
手間を省くため、次の二つの定理を証明しておく。

【 $Th1.1$ 】
任意のストラクチャー $\mathcal{M} = \left( W, \mathcal{F}, \left[\![ \quad \right]\!] \right)$ に対して、 $\varphi , \psi\in W$ が $\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ \varphi \right]\!] \subseteq \left[\![ \psi \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$ を満たすとする。
このとき $\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \varphi \supset \psi \end{aligned} \end{equation}$ である。
証明：
ストラクチャー $\mathcal{M} = \left( W, \mathcal{F}, \left[\![ \quad \right]\!] \right)$ とする。
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{lll} \left[\![ \varphi \right]\!] \subseteq \left[\![ \psi \right]\!] &\Rightarrow \quad \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!]^{c} = \varnothing &\\ &\Rightarrow \quad \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \psi \right]\!] = \Omega &\qquad \because de Morgan\\ &\Rightarrow \quad \left[\![ \varphi \supset \psi \right]\!] = \Omega &\qquad \because 真理値関数の定義\\ &\Rightarrow \quad \mathcal{M} \vDash \varphi \supset \psi &\qquad \because 真の定義\\ \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
任意のストラクチャー $\mathcal{M}$ について上が成り立つから、恒真の定義より $\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \varphi \supset \psi \end{aligned} \end{equation}$ である。

【 $Th1.2$ 】
任意のストラクチャー $\mathcal{M} = \left( W, \mathcal{F}, \left[\![ \quad \right]\!] \right)$ に対して、 $\varphi , \psi\in W$ が $\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ \varphi \right]\!] = \left[\![ \psi \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$ を満たすとする。
このとき $\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \varphi \equiv \psi \end{aligned} \end{equation}$ である。
証明：
ストラクチャー $\mathcal{M} = \left( W, \mathcal{F}, \left[\![ \quad \right]\!] \right)$ とする。
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \left[\![ \varphi \equiv \psi \right]\!] &= \left[\![ \left( \varphi \supset \psi \right) \land \left( \psi \supset \varphi \right) \right]\!] \\ &= \left[\![ \neg \left( \left( \varphi \supset \psi \right) \supset \neg \left( \psi \supset \varphi \right) \right) \right]\!] \\ &= \left[\![ \left( \varphi \supset \psi \right) \supset \neg \left( \psi \supset \varphi \right) \right]\!]^{c} \\ &= \left( \left[\![ \varphi \supset \psi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \neg \left( \psi \supset \varphi \right) \right]\!] \right)^{c} \\ &= \left[\![ \varphi \supset \psi \right]\!] \cap \left[\![ \neg \left( \psi \supset \varphi \right) \right]\!]^{c} \\ &= \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \psi \right]\!] \right) \cap \left( \left[\![ \psi \supset \varphi \right]\!]^{c} \right)^{c} \\ &= \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \psi \right]\!] \right) \cap \left[\![ \psi \supset \varphi \right]\!] \\ &= \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \psi \right]\!] \right) \cap \left( \left[\![ \psi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \\ &= \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \cap \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \\ &= \Omega \cap \Omega \\ &= \Omega \\ \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
よって $\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{M} \vDash \varphi \equiv \psi \end{aligned} \end{equation}$ である。ストラクチャー $\mathcal{M}$ は任意であるので、恒真の定義より $\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \varphi \equiv \psi \end{aligned} \end{equation}$ である。

さて続けよう。
以下ではストラクチャー $\mathcal{M} = \left( W, \mathcal{F}, \left[\![ \quad \right]\!] \right)$ は任意とする。

【 $Th2.1$ 】
$\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \left( \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \varphi \right) \equiv \varphi \end{aligned} \end{equation}$
証明：
$\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \varphi \right]\!] = \left[\![ \varphi \right]\!] / \left( \left[\![ \psi \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \overset{\text{P1}}{=} \left[\![ \varphi \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$
よって $Th1.2$ より成り立つ。

【 $Th2.2$ 】
$\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \left( \varphi \rightarrow \neg \psi \right) \equiv \neg \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \end{aligned} \end{equation}$
証明：
$\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ \varphi \rightarrow \neg \psi \right]\!] = \left[\![ \psi \right]\!]^{c} / \left[\![ \varphi \right]\!] \overset{\text{P2}}{=} \left( \left[\![ \psi \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right)^{c} = \left[\![ \neg \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$
よって $Th1.2$ より成り立つ。

【 $Th2.3$ 】
$\begin{equation} \begin{aligned} \vDash \left( \varphi \rightarrow \left( \psi \supset \theta \right) \right) \supset \left( \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \supset \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \end{aligned} \end{equation}$
証明：
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \left[\![ \varphi \rightarrow \left( \psi \supset \theta \right) \right]\!] &= \left( \left[\![ \psi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \theta \right]\!] \right) / \left[\![ \varphi \right]\!] \\ &\overset{\text{P4}}{=} \left( \left[\![ \psi \right]\!]^{c} / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \cup \left( \left[\![ \theta \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \\ &\overset{\text{P2}}{=} \left( \left[\![ \psi \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right)^{c} \cup \left( \left[\![ \theta \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \\ &= \left[\![ \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \supset \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right]\!] \\ &\subseteq \left[\![ \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \supset \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right]\!] \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
よって $Th1.1$ より成り立つ。

【 $Th2.4$ 】
$\begin{equation} \begin{aligned} \vDash M \left( \varphi \land \psi \right) \supset \left( \left( \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right) \supset \left( \left( \varphi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \right) \end{aligned} \end{equation}$
証明：
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \left[\![ \varphi \land \psi \right]\!] &= \left[\![ \neg \left( \varphi \supset \neg \psi \right) \right]\!] \\ &= \left[\![ \left( \varphi \supset \neg \psi \right) \right]\!]^{c} \\ &= \left( \left[\![ \varphi \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \neg \psi \right]\!] \right)^{c} \\ &= \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \neg \psi \right]\!]^{c} \\ &= \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
であるから
$\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ M \left( \varphi \land \psi \right) \right]\!] = \left( \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \right) / \left( \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \right) \end{aligned} \end{equation}$
よって $Th6$ より
$\begin{equation} \left[\![ M \left( \varphi \land \psi \right) \right]\!] = \Omega \left( \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \neq \varnothing \right) ; \varnothing \left( \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] = \varnothing \right) \begin{aligned} \end{aligned} \end{equation}$
である。
$\left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] = \varnothing$ の場合
$\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ M \left( \varphi \land \psi \right) \right]\!] = \varnothing \subseteq \left[\![ \left( \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right) \supset \left( \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$
$\left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \neq \varnothing$ の場合
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{l} \left[\![ \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right]\!] \\ = \left[\![ \theta \right]\!] / \left[\![ \varphi \land \psi \right]\!] \\ = \left[\![ \theta \right]\!] / \left( \left[\![ \varphi \right]\!] \cap \left[\![ \psi \right]\!] \right) \\ \overset{\text{P4}}{=} \left( \left[\![ \theta \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) / \left( \left[\![ \psi \right]\!] / \left[\![ \varphi \right]\!] \right) \\ = \left[\![ \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right]\!] \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
である。よって
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{l} \left[\![ \left( \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right) \supset \left( \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \right]\!] \\ = \left[\![ \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right]\!] \\ = \left[\![ \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right]\!]^{c} \cup \left[\![ \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right]\!] \\ = \Omega \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
であるから
$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{array}{ll} \left[\![ M \left( \varphi \land \psi \right) \right]\!] &= \Omega \\ &\subseteq \Omega \\ &= \left[\![ \left( \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right) \supset \left( \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \right]\!] \end{array} \end{aligned} \end{equation}$
となって、いずれの場合も
$\begin{equation} \begin{aligned} \left[\![ M \left( \varphi \land \psi \right) \right]\!] \subseteq \left[\![ \left( \varphi \land \psi \rightarrow \theta \right) \supset \left( \left( \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left( \varphi \rightarrow \theta \right) \right) \right]\!] \end{aligned} \end{equation}$
である。よって $Th1.1$ より成り立つ。

今日はここまでにしておこう。
しかし思ったより進まなかった。