ディラック方程式 - jemmie-a-secret’s blog

やってることは、ディラック方程式の導出とあまり違いません。

「質量の同じ２個の実スカラー場は複素スカラー場と等価である」という記事をみていて、ふとこう思った。「じゃあ、質量の同じ２個の複素スカラー場ならどうなるの？」と。ググっても見つからないので自分でやってみることにした。

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = -\partial_{\mu} \varphi^{*}_{1} \partial^{\mu} \varphi_{1} - \lambda^{2} \varphi^{*}_{1} \varphi_{1} -\partial_{\mu} \varphi^{*}_{2} \partial^{\mu} \varphi_{2} - \lambda^{2} \varphi^{*}_{2} \varphi_{2} \end{aligned} \end{equation}$

あるいは

[tex: \varphi =

\begin{pmatrix}

\varphi_{1} \\

\varphi_{2}

\end{pmatrix} ]

として、

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L} = -\partial_{\mu} \varphi^{\dagger} \partial^{\mu} \varphi - \lambda^{2} \varphi^{\dagger} \varphi \end{aligned} \end{equation}$

である。アスタリスクは複素共役、ダガーはエルミート共役（転置＋複素共役）を表す。ここでは後者を使う。

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \varphi{\dagger}} = - \lambda^{2} \varphi - \partial_{\mu} \left( -\partial^{\mu} \varphi \right) =0 \end{aligned} \end{equation}$

から、二成分のクラインゴルドン方程式

$\begin{equation} \begin{aligned} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \varphi = \lambda^{2} \varphi \qquad (1) \end{aligned} \end{equation}$

が得られる。因みに計量 $\left( \eta_{\mu \nu} \right)$ は $diag \left(-1,1,1,1 \right)$ である。

どう考えるか。

(1)式を単純に、たまたま質量が同じ無関係な２個の複素スカラー場とみることはできるだろう。しかし、ここでは無関係でない場合を考えよう。

１次行列なら $x^{2}=1$ の解は $x=(\pm 1)$ しかないが、２次行列の場合は無数にある。

それをうまく使って

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \left( I_{2} \partial_{0} - \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \varphi = -\lambda^{2} \varphi \qquad (2) \end{aligned} \end{equation}$

と変形したい。

因みに、 $I_{2}$ は２次の単位行列、 $\mathbf{\sigma}$ は２次行列 $\mathbf{\sigma}_{1}, \mathbf{\sigma}_{2}, \mathbf{\sigma}_{3}$ を成分に持つベクトルである。

(2)式が(1)式に戻るためには

$\mathbf{\sigma}_{i}^{2}=I_{2} \qquad (i=1,2,3)$

$\mathbf{\sigma}_{i} \mathbf{\sigma}_{j} + \mathbf{\sigma}_{j} \mathbf{\sigma}_{i} = O_{2} \qquad (i \neq j, \quad i,j=1,2,3)$

でなければならない。ここで $O_{2}$ は２次の零行列である。

例えば $\mathbf{\sigma}$ としてPauli行列を取ればよいだろう。以下では $\mathbf{\sigma}$ は３個のPauli行列のベクトルとする。

ここで、 $\psi$ を次のように定義する。

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} - \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \varphi = i \lambda \psi \qquad (3) \end{aligned} \end{equation}$

これを、(2)式に代入すると次式が得られる。

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \psi = i \lambda \varphi \qquad (4) \end{aligned} \end{equation}$

さて $\psi$ とは何だろうか。

(3)(4)式を空間反転させると、次のような式が得られる。

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} - \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \psi^{-} = i \lambda \varphi^{-} \qquad \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \varphi^{-} = i \lambda \psi^{-} \qquad \end{aligned} \end{equation}$

ここで

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^{-} = \varphi \left( x^{0}, -x^{1}, -x^{2}, -x^{3} \right) \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^{-} = \psi \left( x^{0}, -x^{1}, -x^{2}, -x^{3} \right) \end{aligned} \end{equation}$

である。

ここで $\theta = \varphi + \psi^{-}$ とおくと

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} - \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \theta = i \lambda \theta^{-} \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \theta^{-} = i \lambda \theta \end{aligned} \end{equation}$

となる。

よくわからないが、 $\psi$ は $\varphi$ の空間反転解に関係していそうだ。

ここで

[tex: \xi =

\begin{pmatrix}

\varphi \\

\psi

\end{pmatrix} ]

とする。

$\alpha_{i} (i=1,2,3)$ は

[tex: \alpha_{i} =

\begin{pmatrix}

\sigma_{i} & O_{2}\\

O_{2} & -\sigma{i}

\end{pmatrix} ]

$\beta$ は

[tex: beta =

\begin{pmatrix}

O_{2} & I_{2} \\

I_{2} & O_{2}

\end{pmatrix} ]

とする。すると(3)(4)式は

$\begin{equation} \begin{aligned} \left( I_{4} \partial_{0} - \mathbf{\alpha}_{1} \partial_{1} - \mathbf{\alpha}_{2} \partial_{2} - \mathbf{\alpha}_{3} \partial_{3} \right) \xi = i \lambda \beta \xi \qquad (5) \end{aligned} \end{equation}$

と１本の式にまとめることができる。ここで $I_{4}$ は４次の単位行列である。

空間微分の部分を右辺に移すと

$\begin{equation} \begin{aligned} I_{4} \partial_{0} \xi = \left( \mathbf{\alpha}_{1} \partial_{1} + \mathbf{\alpha}_{2} \partial_{2} + \mathbf{\alpha}_{3} \partial_{3} + i \lambda \mathbf{\beta} \right) \xi \end{aligned} \end{equation}$