マクスウェル方程式

Maxwell方程式で \mathbf{\varphi} = \frac{\mathbf{E}}{c} + i \mathbf{B}とおいて、まとめてみた。

 

Maxwell方程式は

{ \begin{aligned}   \nabla \times \mathcal{E} + \partial_{0} \mathbf{B} = 0  \qquad \left( 1 \right) \end{aligned} }

{ \begin{aligned}  \nabla \cdot \mathbf{B} =0   \qquad \left( 2 \right) \end{aligned} }

{ \begin{aligned}   \nabla \times \mathbf{B} - \partial_{0} \mathcal{E} =  \mu_{0} \mathbf{j}   \qquad \left( 3 \right) \end{aligned} }

{ \begin{aligned}   \nabla \cdot \mathcal{E} =  \mu_{0} j^{0} \qquad \left( 4 \right) \end{aligned} }

ここで

\mu_{0}:真空中の誘磁率

\mathcal{E} = \frac{ \mathbf{E} }{c} \quad  \left( 但し \mathbf{E}は電場 \right)

j^{0} = \rho_{e} c \quad \left( 但し \rho_{e}は電荷密度 \right)

x^{0} = ct

c:光速度

である。

ちなみに、計量 \left(\eta _{\mu \nu} \right)=diag(-1,1,1,1)である。

 

\mathbf{\varphi}の定義から

{ \begin{aligned}   \nabla \times \mathbf{\varphi} = \nabla \times \mathcal{E} + i \nabla \times \mathbf{B}   \qquad \left( 5 \right) \end{aligned} }

{ \begin{aligned}  \partial_{0} \mathbf{\varphi} = \partial_{0} \mathcal{E} +i \partial_{0} \mathbf{B}  \qquad \left( 6 \right) \end{aligned} }

が成り立つ。

(5) 式 - i \times (6)式を作ると

{ \begin{aligned}   \nabla \times \mathbf{\varphi} - i \partial_{0} \mathbf{\varphi} = \nabla \times \mathcal{E} + \partial_{0} \mathbf{B} + i \left( \nabla \times \mathbf{B} - \partial_{0} \mathcal{E} \right)   \qquad \end{aligned} }

(1)(3) 式 を代入して

{ \begin{aligned}   \nabla \times \mathbf{\varphi} - i \partial_{0} \mathbf{\varphi} = i \mu_{0} \mathbf{j} \end{aligned} }

両辺に iを掛けて、整理すると

{ \begin{aligned} \partial_{0} \mathbf{\varphi} + i \nabla \times \mathbf{\varphi}  = - \mu_{0} \mathbf{j} \qquad \left( 7 \right) \end{aligned} }

 

他方、 \mathbf{\varphi}の発散をとれば

{ \begin{aligned}   \nabla \cdot \mathbf{\varphi} = \nabla \cdot \mathcal{E} +i \nabla \cdot \mathbf{B}   \qquad  \end{aligned} }

(2)(4) 式 を代入して

{ \begin{aligned}   \nabla \cdot \mathbf{\varphi} = \mu_{0} j^{0} \left( 8 \right)  \qquad  \end{aligned} }

 

ここで、次のような等式が成り立つことに注意する。

{ \begin{aligned}   \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \left( \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{\varphi} \right) = I_{2} \nabla \cdot \mathbf{\varphi} + \mathbf{\sigma} \cdot \left( \partial_{0} \mathbf{\varphi} + i \nabla \times \mathbf{\varphi} \right) \end{aligned} }

ただし、 \mathbf{\sigma} = \left( \sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z} \right)で、 \sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}は Pauli行列とする。また、 I_{2}は二次の単位行列である。

この式の右辺に (7)(8)式を代入すれば

{ \begin{aligned}   \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \left( \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{\varphi} \right) = I_{2} \mu_{0} j^{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \left( - \mu_{0} \mathbf{j}  \right) \end{aligned} }

j_{ \nu } = \eta_{\mu \nu} j^{ \mu } とおけば j_{ 0 } = - j^{ 0 } だから

{ \begin{aligned}   \left( I_{2} \partial_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot \nabla \right) \left( \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{\varphi} \right) = - \mu_{0} \left( I_{2}  j_{0} + \mathbf{\sigma} \cdot  \mathbf{j}  \right) \qquad \left( 9 \right) \end{aligned} }

となる。

 

\left( 9 \right)式が、Maxwell方程式だといわれてもね。という感じである。

むりやり１本の式にまとめたがる人はいるものだが、ほどほどにしましょうねというお話でした。