クラインゴルドン方程式 - jemmie-a-secret’s blog

今回はシュレーディンガー方程式でやったのと同じ変形をクラインゴルドン方程式でもやってみようというだけの話。

クラインゴルドン方程式はこんな式だった。

$\begin{equation} \begin{aligned} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \psi = \lambda^{2} \psi \end{aligned} \end{equation}$ (1)

ここに $\lambda = \frac{mc}{\hbar}$

ちなみに $\begin{equation} \begin{aligned} \eta_{\mu \nu} の符号は ( -,+,+,+ ) \end{aligned} \end{equation}$ である。

ここで、実スカラー $\begin{equation} \begin{aligned} \rho(\ge 0), \phi \end{aligned} \end{equation}$ を使って $\begin{equation} \begin{aligned} \psi = \sqrt{ \rho} e^{i\frac{m}{\hbar} \phi} \end{aligned} \end{equation}$ と表現する。

これを(1)式に代入していくのだが、面倒なので結果だけ書くと次の2式が得られる。

$\begin{equation} \begin{aligned} \partial_{\mu} ( \rho \partial^{\mu} \phi ) = 0\end{aligned} \end{equation}$ (2)

$\begin{equation} \begin{aligned} \rho \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi + \rho \partial_{\mu} \eta \partial^{\mu} \eta + \rho c^{2} = \frac{\hbar^{2}}{2m^{2}} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \rho \end{aligned} \end{equation}$ (3)