シュレーディンガー方程式 - jemmie-a-secret’s blog

昔から物理は好きだけど、点数は悪かった。

そんな過去もあって、EMANさんのページを読みながら

趣味で物理学を楽しんでいた、ある日のこと。

Schrödinger方程式で連続の方程式が成り立つという

解説を読んで、こんな疑問を感じた。

「じゃあ、運動方程式はどうなってるんだろう？」

ググっても見つからなかったので、自分でやってみることにした。

まず、Schrödinger方程式から、連続の方程式を導いてみる。

Schrödinger方程式は、こんな式であった。

$\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = - \frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi + U \psi \end{aligned} \end{equation}$

両辺に、 $\psi ^{*}$ を掛けると

$\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \psi ^{*} \frac{\partial}{\partial t} \psi = - \frac{\hbar ^2}{2m} \psi ^{*} \nabla ^2 \psi + U \psi ^{*} \psi \end{aligned} \end{equation}$ 　(1)

これの複素共役をとると

$\begin{equation} \begin{aligned} -i \hbar \psi \frac{\partial}{\partial t} \psi ^{*} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \psi \nabla ^2 \psi ^{*} + U \psi ^{*} \psi \end{aligned} \end{equation}$ (2)

(1)-(2)を計算すると

$\begin{aligned} i \hbar ( \psi ^{*}\frac{\partial}{\partial t} \psi + \psi \frac{\partial}{\partial t} \psi ^{*} ) = - \frac{\hbar ^2}{2m} ( \psi ^{*} \nabla ^2 \psi - \psi \nabla ^2 \psi ^{*} ) \end{aligned}$

式変形をしていく。

$\begin{aligned} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} ( \psi ^{*} \psi ) = - \frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ( \psi ^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi ^{*} ) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} ( \psi ^{*} \psi ) + \frac{\hbar }{2mi} \nabla ( \psi ^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi ^{*} ) = 0 \end{aligned}$

となって、連続の方程式が得られる。

ここまでは、よく見かける式だが、手がかりが欲しいので、もう少し式変形を続けてみる。

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} ( \psi ^{*} \psi ) + \nabla \{ \psi ^{*} \psi \frac{\hbar }{2mi} ( \frac{\nabla \psi }{ \psi }- \frac{ \nabla \psi ^{*} }{ \psi ^{*} }) \} = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} ( \psi ^{*} \psi ) + \nabla \{ \psi ^{*} \psi \frac{\hbar }{2mi} \nabla (\log \psi - \log \psi ^{*}) \} = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} ( \psi ^{*} \psi ) + \nabla \{ \psi ^{*} \psi \frac{\hbar }{2mi} \nabla \log \frac{ \psi }{ \psi ^{*}} \} = 0 \end{aligned}$

複素対数は多価関数だった、でもどの枝も定数しか違わないし、どうせ微分するのだから気にしないでおこう。

ここで、 $\rho = \psi ^{*} \psi$ , $\phi = \frac{\hbar }{2mi} \log \frac{ \psi }{ \psi ^{*}}$ とおけば

$\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla ( \rho \nabla \phi ) = 0 \end{aligned}$

となって見慣れた感じの式になる。

ええと、 $\phi$ は速度ポテンシャルということらしい。

次に運動方程式を求めていく。

とりあえず、 $\psi$ を $\rho$ と $\phi$ で表現するのがよさそうということは分かったから、そうしてみよう。

$\begin{equation} \begin{aligned} \psi = \sqrt{\rho} e^{i \frac{m}{\hbar} \phi} \end{aligned} \end{equation}$ (3)

あとは、この式をSchrödinger方程式に代入すればいいのだが、計算に苦労したのを思い出したので、少し工夫してみる。

まず(3)式の対数をとる。

$\begin{aligned} \log \psi = \frac{1}{2} \log {\rho} + i \frac{m}{\hbar} \phi \end{aligned}$

これを $t$ で偏微分すると

$\begin{aligned} \frac{\partial _{t} \psi}{\psi} = \frac{\partial _{t} \rho}{2 \rho } + i \frac{m}{\hbar} \partial _{t} \phi \end{aligned}$ (4)

ナブラの方は

$\begin{aligned} \frac{\nabla \psi}{\psi} = \frac{\nabla \rho}{2 \rho } + i \frac{m}{\hbar} \nabla \phi \end{aligned}$ (5)

もう一回微分すると

$\begin{aligned} \frac{\nabla ^2 \psi}{\psi} - \frac{(\nabla \psi) ^2 }{ \psi ^2} = \frac{\nabla ^2 \rho}{2 \rho } - \frac{(\nabla \rho) ^2}{2 \rho ^2 }+ i \frac{m}{\hbar} \nabla ^2 \phi \end{aligned}$ (6)

(6)式に(5)式を代入すれば

$\begin{aligned} \frac{\nabla ^2 \psi}{\psi} - (\frac{\nabla \rho}{2 \rho } + i \frac{m}{\hbar} \nabla \phi) ^2 = \frac{\nabla ^2 \rho}{2 \rho } - \frac{(\nabla \rho) ^2}{2 \rho ^2 }+ i \frac{m}{\hbar} \nabla ^2 \phi \end{aligned}$

左辺の第2項を右辺に移項して整理するとこうなる。

$\begin{aligned} \frac{\nabla ^2 \psi}{\psi} = \frac{\nabla ^2 \rho}{2 \rho } - \frac{(\nabla \rho) ^2}{4 \rho ^2 } - \frac{m ^2}{\hbar ^2} \left( \nabla \phi \right) ^2+ i \frac{m}{\hbar} \left( \nabla ^2 \phi + \frac{\nabla \rho \cdot \nabla \phi}{ \rho } \right) \end{aligned}$ (7)

あとは、次の変形したSchrödinger方程式に(4)(7)式を代入すればいいだろう。

$\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{\partial _t \psi }{\psi}= - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{ \nabla ^2 \psi }{\psi} + U \end{aligned} \end{equation}$

式がはみ出してしまうので、実部・虚部に分けて計算を進める。

実部は

$\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \left(i \frac{m}{\hbar} \partial _{t} \phi \right)= - \frac{\hbar ^2}{2m} \left( \frac{\nabla ^2 \rho}{2 \rho } - \frac{(\nabla \rho) ^2}{4 \rho ^2 } - \frac{m ^2}{\hbar ^2} \left( \nabla \phi \right) ^2 \right) + U \end{aligned} \end{equation}$ (8)

虚部は

$\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{\partial _{t} \rho}{2 \rho }= - \frac{\hbar ^2}{2m} \left( i \frac{m}{\hbar} \left( \nabla ^2 \phi + \frac{\nabla \rho \cdot \nabla \phi}{ \rho } \right) \right) \end{aligned} \end{equation}$ (9)

となる。

式変形に疲れたので、省略させていただくことにする。

(9)式を整理すると

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \left( \rho \nabla \phi \right) =0 \end{aligned} \end{equation}$

連続の方程式になる。

(8)式を整理すると

$\begin{equation} \begin{aligned} \rho \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \rho \left(\nabla \phi \right) ^2 + \frac{\hbar ^2}{8m ^2} \frac{\left(\nabla \rho \right) ^2}{\rho} - \frac{\hbar ^2}{4m ^2} \nabla ^2 \rho - \frac{\rho}{m} U =0\end{aligned} \end{equation}$ (10)

これが、運動方程式だろう。

(10)式は、（渦無しの）完全流体の運動方程式と似ているので、圧力関数を定義して……とかやりたくなるが、結論から言うと正しくないらしい。

では、どう解釈したらいいかと探したら、確率力学に行き着いた。

(10)式を次のように変形しておく。

$\begin{equation} \begin{aligned} \rho \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \rho \left(\nabla \phi \right) ^2 + \frac{1}{2} \rho \left( \nabla \eta \right) ^2 - \frac{\rho}{m} U = \frac{\hbar ^2}{4m ^2} \nabla ^2 \rho \end{aligned} \end{equation}$